Возведение в степень

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к поиску

Возведе́ние в сте́пень — бинарная операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a и натуральным показателем b обозначается как

,

при этом  — это количество множителей (умножаемых чисел).

Возведение в степень может быть определено также для отрицательных, рациональных, вещественных и даже комплексных степеней.

Натуральная степень

Число называется n-й степенью числа , если

.

Свойства:

  1. запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством. Впрочем некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения (см. ниже);
  2. возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Видео по теме

Целая степень

Результат не определён при и .

Рациональная степень

По определению,

Результат не определён при и .

Для отрицательных в случае нечётного и чётного в результате вычисления степени получаются комплексные числа. См. подробнее Корень (математика).

Вещественная степень

Пусть  — вещественные числа, причём  — иррациональное число. Определим значение следующим образом.

Как известно, любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для рациональный интервал с любой степенью точности. Тогда общая часть всех соответствующих интервалов состоит из одной точки, которая и принимается за .

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов (см. определение комплексной степени).

Потенцирование

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1] — возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:

Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, возведение a в степень b может быть названо другими словами «потенцированием b по основанию a».

Комплексная степень

Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .

Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив в экспоненциальной форме и используя тождество , где  — комплексный логарифм:

Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.

Ноль в степени ноль

Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:

можно записать короче:

В любом случае соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке.

Степень как функция

Поскольку в выражении используются два символа ( и ), то его можно рассматривать как одну из трёх функций:

  • функцию переменной (при этом  — параметр). Такая функция называется степенной (частный случай полиномиальной функции);
  • функцию переменной (при этом  — параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента);
  • функцию двух переменных.

Полезные формулы

Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции , и для приближенного возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.

Употребление в устной речи

Запись обычно читается как «a в -ой степени» или «a в степени n». Например, читается как «десять в четвёртой степени», читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».

Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, читается как «десять в квадрате», читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры (англ.). В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо , древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[1].

В разговорной речи иногда говорят, например, что  — это «a умноженное само на себя три раза»[2], имея в виду, что берётся три множителя . Это не совсем точно, и может привести к двусмысленности, так как количество операций умножения будет на одну меньше: (три множителя, но две операции умножения). Часто когда говорят, «a умноженное само на себя три раза», имеют в виду количество умножений, а не множителей, то есть [3]. Чтобы избежать двусмысленности, можно говорить, к примеру: третья степень — это когда «число три раза входит в умножение»[4].

Обозначение

История

В Европе сначала степень записывали как произведение — например, изображалось как Первые попытки сокращённой записи осуществили в XVII веке Пьер Эригон и шотландский математик Джеймс Юм, они записывали в виде и соответственно[5]. Начиная с Декарта, степень обозначали «двухэтажной» записью вида .

Значок степени

С появлением компьютеров и компьютерных программ возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень в «двухэтажном» виде. В связи с этим изобрели особые значки для обозначения операции возведения в степень. Первым таким значком были две звёздочки: «**», используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: «» (стрелки Кну́та). В языке Бейсик предложен символ «^» («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность; его часто используют при написании формул и математических выражений не только в языках программирования и компьютерных системах, но и в простом тексте. Примеры:

3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125.

Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).

Иногда в компьютерных системах и языках программирования значок возведения в степень имеет левую ассоциативность, в отличие от принятого в математике соглашения о правой ассоциативности возведения в степень. То есть некоторые языки программирования (например, программа Excel) могут воспринимать запись a^b^c, как (a^b)^c, тогда как другие системы и языки (например, Haskell, Perl, Wolfram|Alpha и многие другие) обработают эту запись справа налево: a^(b^c), как это принято в математике: .

Некоторые знаки возведения в степень в языках программирования и компьютерных системах:

Во многих языках программирования (например, в Си и Паскале) отсутствует операция возведения в степень и для этой цели используют функции.

См. также

Примечания

  1. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. с голл. И. Н. Веселовского. — М., 1959. — С. 165-167. — 456 с.
  2. Морган Джонс. Ламповые усилители. — Litres, 2014-01-16. — С. 29. — 762 с. — ISBN 9785457531772.
  3. Август Давидов. Начальная алгебра. — Типографія Э. Лисслер и Ю. Роман, 1883-01-01. — С. 6. — 534 с.
  4. Румовский С. Я. Сокращения математики. — Directmedia, 2014. — С. 80. — ISBN 978-5-4458-1644-7.
  5. Александрова Н. В., 2008, с. 130—131.
Комментарии
  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).
  2. Для целой степени.
  3. Для неотрицательной целой степени.
  4. Поддерживает отрицательные степени, в отличие от ^, реализованной только как последовательное умножение.
  5. Начиная с версии 5.6 (см. Руководство по PHP › Appendices › Миграция с PHP 5.5.x на PHP 5.6.x › Новые возможности).
  6. Для степени, представленной числом с плавающей запятой — реализовано через логарифм.
  7. Описан в стандарте EcmaScript 7 (ECMA-262, 7th edition), принятом в июне 2016 года.
  8. В JavaScript изначально присутствует метод Math.pow(x,y).

Литература

Ссылки